Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Tabla de ecuaciones y ejercicios

(Ecuaciones ejercicios) En esta entrada del blog, iremos añadiendo ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado con denominadores resueltas paso a paso. Nivel 1º y 2º de ESO. Pulsa en la ecuación para ir a la solución y su explicación paso a paso.

Ejercicio 1 \displaystyle 1-\frac{2x}{7}=x-2\left(x-\frac{1}{3}\right)
Ejercicio 2 \displaystyle  \frac{1}{2}\cdot{}\left(2x-3\right)+1=\frac{1}{3}\cdot{}\left(x-5\right)-x
Ejercicio 3 \displaystyle  11x-5\left(2x+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{5}\left(x-\frac{1}{2}\right)-1
Ejercicio 4 \displaystyle  2\left(\frac{4x}{9}-\frac{7}{6}\right)+\frac{2x}{3}=1-\frac{2x}{3}
Ejercicio 5 \displaystyle  28+x=\frac{5}{9}\left(60+x\right)\
Ejercicio 6 \displaystyle  \frac{1}{2} x+8 = x + 10
Ejercicio 7 \displaystyle  4\cdot \left (\frac{1}{3}x - \frac{3}{4}  \right ) = -\frac{2}{9}\cdot\left ( x-\frac{1}{2} \right )
Ejercicio 8 \displaystyle  - \left (2x - \frac{1}{4} \right ) + \frac{1}{2}x= \frac{7}{4}\cdot\left ( x-2\right )
Ejercicio 9 \displaystyle  \frac{2 \cdot (3x-1)}{3}+\frac{5x-6}{6} = \frac{138}{9}
Ejercicio 10 \displaystyle  7x+8 \cdot \left (x+\frac{1}{4} \right) =3 \cdot (6x-9)-9
Ejercicio 11 \displaystyle \frac{2}{3} \cdot \left (\frac{4}{5}y+\frac{3}{6}  \right ) = \frac{2}{3} \cdot \left (\frac{2}{4} \cdot y - \frac{3}{5}  \right )

Si después de hacer todas estas ecuaciones tienes ganas de más, te ofrecemos también esta entrada de Matesfáciles con más ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores tomadas del libro de Matemáticas de SM Savia para 1º de ESO.

Ecuaciones ejercicios: Soluciones paso a paso

Ejercicio ecuación 1

\displaystyle 1-\frac{2x}{7}=x-2\left(x-\frac{1}{3}\right)
Quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva

\displaystyle  1-\frac{2x}{7}=x-2x+\frac{2}{3}

Simplificamos términos semejantes

\displaystyle  1-\frac{2x}{7}=-x+\frac{2}{3}

\displaystyle  \frac{1}{1}-\frac{2x}{7}=-\frac{x}{1}+\frac{2}{3}

Multiplicamos la ecuación por 21 que es el mcm de los denominadores.

\displaystyle  \frac{21\cdot{}1}{1}-\frac{21\cdot{}2x}{7}=-\frac{21\cdot{}x}{1}+\frac{21\cdot{}2}{3}

Simplificamos

\displaystyle  21-6x=-21x+14

Restamos 21

\displaystyle  -6x=-21x-7

Sumamos 21x

\displaystyle  15x=-7

Aplicamos la regla de producto dividiento entre 15.

\displaystyle  x=-\frac{7}{15}

Ejercicios resueltos de ecuaciones

Ejercicio ecuación 2

 

\displaystyle  \frac{1}{2}\cdot{}\left(2x-3\right)+1=\frac{1}{3}\cdot{}\left(x-5\right)-x

Multiplicamos las fracciones por los paréntesis

\displaystyle  \frac{2x-3}{2}+1=\frac{x-5}{3}-x

\displaystyle  \frac{2x-3}{2}+\frac{1}{1}=\frac{x-5}{3}-\frac{x}{1}

Calculamos el mcm de los denominadores que es 6 y multiplicamos la ecuación por 6

\displaystyle  \frac{6\cdot{}(2x-3)}{2}+\frac{6\cdot{}1}{1}=\frac{6\cdot{}(x-5)}{3}-\frac{6\cdot{}x}{1}

Simplificamos

\displaystyle  3\left(2x-3\right)+6=2\left(x-5\right)-6x

Quitamos los nuevos paréntesis que nos han aparecido haciendo la propiedad distributiva.

\displaystyle  6x-9+6=2x-10-6x

Simplificamos términos semejantes

\displaystyle  6x-3=-4x-10

Regla de la suma: sumamos +3

\displaystyle  6x=-4x-7

Regla de la suma: sumamos 4x

\displaystyle  10x=-7

Regla del producto: dividimos entre 10

\displaystyle  x=-\frac{7}{10}

Ejercicios resueltos de ecuaciones

Ejercicio ecuación 3

\displaystyle  11x-5\left(2x+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{5}\left(x-\frac{1}{2}\right)-1

Quitamos paréntesis con la propiedad distributiva

\displaystyle  11x-10x-\frac{5}{2}=\frac{3x}{5}-\frac{3}{10}-1

\displaystyle  \frac{11x}{1}-\frac{10x}{1}-\frac{5}{2}=\frac{3x}{5}-\frac{3}{10}-\frac{1}{1}

Multiplicamos la ecuación por 10 que es el mcm de los denominadores

\displaystyle  \frac{10\cdot{}11x}{1}-\frac{10\cdot{}10x}{1}-\frac{10\cdot{}5}{2}=\frac{10\cdot{}3x}{5}-\frac{10\cdot{}3}{10}-\frac{10\cdot{}1}{1}

Simplificamos

\displaystyle  110x-100x-25=6x-3-10

Simplificamos términos semejantes

\displaystyle  10x-25=6x-13

Regla de la suma: sumamos +25

\displaystyle  10x=6x+12

Regla de la suma: sumamos -6x

\displaystyle  4x=12

Regla del producto: dividimos entre 4

\displaystyle  \frac{4x}{4}=\frac{12}{4}

\displaystyle  x=3

Ejercicios resueltos de ecuaciones

Ejercicio ecuación 4

\displaystyle  2\left(\frac{4x}{9}-\frac{7}{6}\right)+\frac{2x}{3}=1-\frac{2x}{3}

Quitamos el paréntesis con la propiedad distributiva

\displaystyle  \frac{8x}{9}-\frac{14}{6}+\frac{2x}{3}=1-\frac{2x}{3}

Simplificamos la segunda fracción

\displaystyle  \frac{8x}{9}-\frac{7}{3}+\frac{2x}{3}=\frac{1}{1}-\frac{2x}{3}

Multiplicamos la ecuación por 9 que es el mcm de los denominadores

\displaystyle  \frac{9\cdot{}8x}{9}-\frac{9\cdot{}7}{3}+\frac{9\cdot{}2x}{3}=\frac{9\cdot{}1}{1}-\frac{9\cdot{}2x}{3}

Simplificamos las fracciones

\displaystyle  8x-21+6x=9-6x

Simplificamos términos semajantes

\displaystyle  14x-21=9-6x

Regla de la suma: sumamos +21

\displaystyle  14x=30-6x

Regla de la suma: sumamos +6x

\displaystyle  20x=30

Regla del producto: dividimos entre 20

\displaystyle  x=\frac{30}{20}

Simplificamos el resultado

\displaystyle  x=\frac{3}{2}

Ejercicio ecuación 5

\displaystyle  28+x=\frac{5}{9}\left(60+x\right)\

Multiplicamos la fracción por el paréntesis

\displaystyle  28+x=\frac{5\cdot{}\left(60+x\right)}{9}

Quitamos el paréntesis del denominador con la propiedad distributiva

\displaystyle  28+x=\frac{300+5x}{9}

\displaystyle  \frac{28+x}{1}=\frac{300+5x}{9}

Calculamos el mcm de los denominadores (9) y multiplicamos la ecuación por ese número gracias a la regla del producto.

\displaystyle  \frac{9\cdot{}\left(28+x\right)}{1}=\frac{9\cdot{}\left(300+5x\right)}{9}

Simplificamos las fracciones

\displaystyle  9\cdot{}\left(28+x\right)=\left(300+5x\right)

Quitamos los nuevos paréntesis que nos han aparecido.

\displaystyle  252+9x=300+5x

Regla de la suma: sumamos -252

\displaystyle  9x=48+5x

Regla de la suma: sumamos -5x

\displaystyle  4x=48

Regla del producto: dividimos entre 4

\displaystyle  \frac{4x}{4}=\frac{48}{4}

\displaystyle  x=12

Ejercicio ecuación 6

\displaystyle  \frac{1}{2} \cdot x+8 = x + 10

Multiplicamos la ecuación por 2 para quitar los denominadores.

\displaystyle  x+ 16 = 2x + 20

Regla de la suma: restamos 16 para quitar el término independiente del miembro de la izquierda.

\displaystyle  x = 2x + 4

Regla de la suma: restamos 2x para quitar el término dependiente  del miembro de la derecha.

\displaystyle  -x = 4

Regla del producto: dividimos entre el coeficiente de la incógnita x que es -1

\displaystyle  x = -4

Ejercicios resueltos de ecuaciones

Ejercicio ecuación 7

Ejercicios resueltos de ecuaciones
\displaystyle  4\cdot \left (\frac{1}{3}x - \frac{3}{4}  \right ) = -\frac{2}{9}\cdot\left ( x-\frac{1}{2} \right )

Quitamos los paréntesis multiplicando los factores con la propiedad distributiva.

\displaystyle    \frac{4x}{3} - \frac{12}{4}  = -\frac{2x}{9} + \frac{2}{18}

Y simplificamos:

\displaystyle    \frac{4x}{3} - 3  = -\frac{2x}{9} + \frac{1}{9}

Quitamos los denominadores multiplicando la ecuación por el mcm de los denominadores que es 9:

\displaystyle    \frac{9\cdot4x}{3} - \frac{9\cdot3}{1}  = -\frac{9\cdot2x}{9} + \frac{9\cdot1}{9}

Y volvemos a simplificar:

\displaystyle    12x - 27  = -2x + 1

Esta expresión no se puede simplificar, por lo que seguimos adelante. Ahora usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 27:

\displaystyle    12x   = -2x + 28

Ahora sumamos 2x

\displaystyle    14x   = 28

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre 14:

\displaystyle    x   = 2

Ejercicios resueltos de ecuaciones

Ejercicio ecuación 8

Ejercicios resueltos de ecuaciones
\displaystyle  - \left (2x - \frac{1}{4} \right ) + \frac{1}{2}x= \frac{7}{4}\cdot\left ( x-2\right )

Quitamos los paréntesis del miembro de la izquierda cambiando de signo los términos que hay dentro de él y el del miembro de la derecha mediante la propiedad distributiva:

\displaystyle  -2x + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x = \frac{7}{4}\cdot x - \frac{7}{4}\cdot 2

Y simplificamos:

\displaystyle    -2x + \frac{1}{4} + \frac{x}{2} = \frac{7x}{4} - \frac{7\cdot 2}{4}

\displaystyle    \frac{-2x}{1} + \frac{1}{4} + \frac{x}{2} = \frac{7x}{4} - \frac{7}{2}

Quitamos los denominadores multiplicando la ecuación por el mcm de los denominadores que es 4:

\displaystyle    \frac{4\cdot(-2x)}{1} + \frac{4\cdot1}{4} + \frac{4\cdot x}{2} = \frac{4\cdot7x}{4} - \frac{4\cdot7}{2}

Y volvemos a simplificar:

\displaystyle    -8x + 1 + 2x = 7x - 14

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

\displaystyle    -6x + 1 = 7x - 14

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 1 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle    -6x  = 7x - 15

Ahora restamos 7x

\displaystyle    -13x   = -15

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es -13:

\displaystyle    \frac{-13x}{-13}   = \frac{-15}{-13}

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

\displaystyle    x   = \frac{15}{13}
Ejercicios resueltos de ecuaciones

Ejercicio ecuación 9

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle  \frac{2 \cdot (3x-1)}{3}+\frac{5x-6}{6}= \frac{138}{9}

Quitamos los paréntesis del miembro de la izquierda con la propiedad distributiva y simplificamos la fracción del miembro de la derecha:
\displaystyle  \frac{6x-2}{3}+\frac{5x-6}{6} = \frac{46}{3}
Quitamos los denominadores multiplicando la ecuación por el mcm de los denominadores que es 6:

\displaystyle    \frac{6 \cdot (6x-2)}{3}+\frac{6 \cdot(5x-6)}{6} = \frac{6 \cdot 46}{3}

Y volvemos a simplificar las fracciones:

\displaystyle    2 \cdot (6x-2) + (5x-6) = 2 \cdot 46

Y, de nuevo, quitamos los paréntesis que nos han aparecido:

\displaystyle    12x-4 + 5x-6 = 92

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

\displaystyle    17x - 10  = 92

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 10 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle    17x = 102

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es 17:

\displaystyle    \frac{17x}{17}   = \frac{102}{17}

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

$latex \displaystyle

x   =  6

$

Ejercicio ecuación 10

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle  7x+8 \cdot \left (x+\frac{1}{4} \right) =3 \cdot (6x-9)-9

Quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:

\displaystyle  7x+8x +\frac{8}{4} =18x-27-9
Quitamos los denominadores simplificando la única fracción que tenemos, ya que la división sale exacta:

\displaystyle    7x+8x +2 = 18x-27-9

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

\displaystyle    15x + 2 =18x-36

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 2 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  15x + 2 -2 = 18x - 36 - 2

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
\displaystyle    15x = 18x-38

Ahora, para quitar el 18x, vamos a restar 18x en los dos miembros
\displaystyle    15x -18x = 18x-38 - 18x

\displaystyle    -3x = -38

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es -3:

\displaystyle    \frac{-3x}{-3} = \frac{-38}{-3}

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

\displaystyle    x   =  \frac{38}{3}

Ejercicio ecuación 11

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle  \frac{2}{3} \cdot \left (\frac{4}{5}y+\frac{3}{6}  \right ) = \frac{2}{3} \cdot \left (\frac{2}{4} \cdot y - \frac{3}{5}  \right )

Como los dos miembros de la ecuación están multiplicados por \displaystyle \frac{2}{3} podemos quitar dicho factor en los dos miembros de la ecuación. Y, por ende, los paréntesis no son necesarios.

\displaystyle  \frac{4}{5}y+\frac{3}{6}  = \frac{2}{4} \cdot y - \frac{3}{5}
Simplicamos las fracciones que no son irreducibles:
\displaystyle  \frac{4}{5}y+\frac{1}{2}  = \frac{1}{2} \cdot y - \frac{3}{5}

Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores que, en este caso, es 10:

\displaystyle  \frac{10 \cdot 4}{5}y+\frac{10 \cdot 1}{2}  = \frac{10 \cdot 1}{2} \cdot y - \frac{10 \cdot 3}{5}
Y simplificamos:
\displaystyle  8y+5  = 5y - 6

En el siguiente paso, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con dependientes (con incógnitas) en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 5 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  8y+5-5  = 5y - 6 - 5
y simplificando términos semejantes:
\displaystyle  8y = 5y - 11

Ahora, para quitar el 5y, vamos a restar 5y en los dos miembros
\displaystyle    8y - 5y = 5y - 11 - 5y

\displaystyle    3y = -11

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es 3:

\displaystyle    \frac{3y}{3} = \frac{-11}{3}

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

\displaystyle    x   = - \frac{11}{3}

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